Komposisi FungsiKomposisi Fungs

1. Pengertian

Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.

Misalkan: f : A  ®  B dan g : B ®  C

 

 

 

                           f                             g

 

 

A                            B                            C

h = g o f

Fungsi baru h = (g o f) : A ® C disebut fungsi komposisi dari f dan g.

Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))

(gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika Rf ∩ Dg ≠ Ø

Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a))

Secara umum ada 2 definisi fungsi komposisi yaitu

  1. (f o g)(x) = f(g(x))
  2. (g o f)(x) = g(f(x))

Contoh 1:

Jika diketahui f : R ® R ; f(x) = 2x² +1,   g : R ® R ; g(x) = x + 3 , Tentukan (f o g)(x) dan (g o f)(x) !
Jawab

(f o g)(x) = f(g(x))

= f(x+3)

= 2(x+3)²+1

= 2(x² + 6x + 9) + 1

= 2x²+12x+19

(g o f)(x) = g(f(x))

= g(2x²+1)

= 2x² + 1 + 3

= 2x² + 4

Contoh 2:

Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.

f : A → B dengan f(x) = -x + 1;  g : B → C dengan g(x) = x2 dan h = g o f : A → C.

Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!

h(x) =  (g o f)(x)

= g(f(x))

= g(-x + 1)

= (-x + 1)2

h(x) = 64 → (-x + 1)2 = 64

↔ -x + 1 = ± 8

-x + 1 = 8

↔ x = -7

atau –x + 1 = -8

↔ x = 9

Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.

2. Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka berlaku:

i.   (fog)(x) ≠ (g o f)(x)                      (tidak komutatif)
ii.  ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)    (sifat asosiatif)

iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)          (elemen identitas)

Contoh 3:

Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 + 2, I(x) = x

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x

(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2) = 3 – (x2 + 2) = 1 – x2

Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x)

((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 – 2x2

(fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 – x2)= 2(1 – x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2 x2

Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)

(foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1

(Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1

Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)

 

 

Fungsi Invers

Definisi

Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f adalah f-1: B ® A ditentukan oleh:                       f-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.

Jika f : A ® B, maka f  mempunyai fungsi invers f-1 : B ® A  jika dan hanya jika    f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.

Jika f : y = f(x) ® f -1 : x = f(y)

(f o f -1)(x) = (f-1 o f)(x) = I(x)    (fungsi identitas)

 

Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers

i.   f(x) = ax + b; a ≠ 0   ®  f -1(x) =; a ≠ 0

ii.  f(x) = ; x ≠ – ®  f -1(x) = ; x ≠

iii. f(x) = acx ; a > 0  ®  f -1(x) = alog x1/c = alog x ; c ≠ 0

iv. f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0  ®   f -1(x) = ; c ≠ 0

v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0 ®  f -1(x)=

Catatan:

Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.

Contoh 26:

Diketahui f: R ®  R dengan f(x) = 2x – 5. Tentukan f -1 (x)!
Cara 1:

y = 2x – 5 (yang berarti x = f -1(y))
2x = y + 5

x =
f -1(x) =

Cara 2:

f(x) = ax + b  ®  f -1(x) =

f(x) = 2x – 5  ®  f -1(x) =

Contoh 27:

Diketahui  Tentukan !

Cara 1:

y(x – 4) = 2x + 1

yx – 4y = 2x + 1

yx – 2x = 4y + 1

x(y – 2) = 4y + 1

x =

f -1(x) =

Cara 2:

f(x) =  ®  f -1(x) =

®  f -1(x) =

Contoh 28:

Jika   dan . Tentukan nilai k!

Cara 1:

y(3x – 4) = 2x

3xy – 4y = 2x

3xy – 2x = 4y

x(3y – 2) = 4y

x =

f -1(x) =

f -1(k) =

1 =

3k – 2 = 4k

k = -2

Cara 2:

f -1(k) = a  ®  k = f(a)

®  k = f(1) =

Contoh 29:

Diketahui f(x) = 52x, tentukan  f – 1 (x)!

Cara 1:

y = 52x (ingat rumus logaritma: a n = b ® n = )

2x =

x =

f – 1 (x) =

Cara 2:

f(x) = acx  ®  f -1(x) = alog x

f(x) = 52x  ® f – 1 (x) =

Contoh 30:

Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f–1 (x)!

Cara 1:

y = x2 – 6x + 4

y – 4 = x2 – 6x

y – 4 = (x – 3) 2 – 9

y + 5 = (x – 3) 2

x – 3 = ±

x = 3 ±

f – 1 (x) = 3 ±

 

Cara 2:

f(x) = ax²+bx+c ®  f -1(x) =

f(x) = x2 – 6x + 4 ®  f -1(x) =

Contoh 31:

Diketahui , tentukan  f – 1 (x)!

Cara 1:

y – 2 =

(y – 2)5 = 1 – x3

x3 = 1 – (y – 2)5

x =

f – 1 (x) =

Cara 2:

®  f – 1 (x) =

®  f – 1 (x) =

Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui

Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x).

Contoh 32:

Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)!

Cara 1:

(g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12

g(f(x)) = 2x2 + 2x – 12

3 – 2f(x) = 2x2 + 2x – 12

-2f(x) = 2x2 + 2x – 15

f(x) = -x2 – x + 7,5

 

Cara 2:

g(x) = 3 – 2x  ®  g -1(x) =

f(x) = [g -1 o (g o f)](x)

f(x) =

Contoh 33:

Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) = , tentukan rumus fungsi g(x)!

Cara 1:

(g o f)(x) =

g(f(x)) =

g(2x-1) =

Misalkan: 2x – 1 = a  ®  x =

g(a) =

g(a) = =

g(x) =

Cara 2:

(g o f)(x) =

g(f(x)) =

g(2x-1) =

g(2x-1) =

g(x) =

Cara 3:

f(x) = 2x -1  ®  f -1(x) =

g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o f)( f -1(x))

g(x) =

6.5. Invers Dari Fungsi Komposisi

Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f -1 dan g-1. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut.

 

 

                                                        

                              f                          g

 

 

A                            B                       C

g o f

Fungsi (g o f) -1 memetakan z  ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g-1, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f -1. Sehingga (g o f)-1 dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f-1 0 g-1). Seperti tampak pada diagram berikut.

 

 

 

                         f-1                                        g-1

 

 

A                            B                            C

(g o f) -1

Jadi diperoleh hubungan:

(g o f) -1 (x) = (f -1 o g -1)(x)

Contoh 34:

Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = . Tentukan (f o g) – 1(x)!

Cara 1:

(f o g)(x) = 2() – 3 =

Misalkan y = (f o g)(x)

y =

y(3x+1) = -9x – 1

3xy + y = -9x – 1

3xy + 9x = -y – 1

x (3y + 9) = -(y + 1)

x =

(f o g) – 1(x) =

Cara 2:

(f o g)(x) = 2() – 3 =

(f o g) – 1(x) =

Contoh 35:

Diketahui f – 1(x) = x – 2,  g – 1(x) = dan h(x)=(g o f)(x). tentukan h – 1(x)!

Cara 1:

f – 1(x) = x – 2

(f–1 o f)(x) =I(x)  ® f– 1(f(x)) = x

f(x) – 2 = x

f(x) = x + 2

f(x) = 2x + 4

g – 1(x) =

(g– 1 o g)(x) =I(x)  ® g – 1(g(x)) = x

= x

4g(x) + 5 = x.g(x)- 2x

4g(x) – x.g(x) = -2x – 5

g(x)(4 – x) = -2x – 5

g(x) =

h(x) = (g o f)(x)

h(x) = –

h – 1(x) =

Cara 2:

h(x) = (g o f)(x)  ®   h – 1(x) = (g o f) – 1 (x) =  (f -1 o g -1)(x) = f -1( g -1(x))

h – 1(x) = . – 2 =

Contoh 36:

Ditentukan f(x) = 2x – 1, dan g(x) = 3 – x dan h(x) = , carilah nilai x sehingga (h o g o f) – 1 (x) = 1!

Cara 1:

(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x

(h o (g o f))(x) =

Misalkan (h o g o f)(x) = y, maka:

y =

4y – 2xy = 4

-2xy = 4 – 4y

x =

(h o g o f) – 1 (x) =

= 1

2x – 2 = x

x = 2

Cara 2:

(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x

(h o (g o f))(x) =

(h o g o f) – 1 (x) = a   ®   x = (h o g o f)(a)

(h o g o f) – 1 (x) = 1   ®   x = (h o g o f)(1) =

http://alisahadi.wordpress.com/2010/01/06/materi-matematika-untuk-kelas-xi-ipa-semester-2/

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s